[Dottorcomp] [dottormate] Fwd: corso di dottorato "Elliptic PDEs and hypersurface geometry"

[Giovanni Marano]

Buongiorno, io sono interessato.


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Da: dottormate-bounces a ipv01.unipv.it <dottormate-bounces a ipv01.unipv.it> per conto di CLAUDIA CONTARDI <claudia.contardi01 a universitadipavia.it>
Inviato: Monday, November 11, 2024 3:43:43 PM
A: dottormate a unipv.it <dottormate a unipv.it>; dottorcomp a unipv.it <dottorcomp a unipv.it>
Oggetto: [dottormate] Fwd: corso di dottorato "Elliptic PDEs and hypersurface geometry"


---------- Forwarded message ---------
Da: Stefano Pigola <stefano.pigola a unimib.it<mailto:stefano.pigola a unimib.it>>
Date: lun 2 set 2024 alle ore 07:40
Subject: corso di dottorato "Elliptic PDEs and hypersurface geometry"
To: <g.barbieri43 a campus.unimib.it<mailto:g.barbieri43 a campus.unimib.it>>, <m.fusari a campus.unimib.it<mailto:m.fusari a campus.unimib.it>>, Simone Gallivanone <s.gallivanone a campus.unimib.it<mailto:s.gallivanone a campus.unimib.it>>, <e.marmo a campus.unimib.it<mailto:e.marmo a campus.unimib.it>>, <f.mastrogiacomo2 a campus.unimib.it<mailto:f.mastrogiacomo2 a campus.unimib.it>>, Tommaso Toti <t.toti a campus.unimib.it<mailto:t.toti a campus.unimib.it>>, <giulia.cavalleri01 a universitadipavia.it<mailto:giulia.cavalleri01 a universitadipavia.it>>, <claudia.contardi01 a universitadipavia.it<mailto:claudia.contardi01 a universitadipavia.it>>, <paolo.grossi01 a universitadipavia.it<mailto:paolo.grossi01 a universitadipavia.it>>, <antonio.lacopo01 a universitadipavia.it<mailto:antonio.lacopo01 a universitadipavia.it>>, <edoardogiovann.tolotti01 a universitadipavia.it<mailto:edoardogiovann.tolotti01 a universitadipavia.it>>, <luca.vai01 a universitadipavia.it<mailto:luca.vai01 a universitadipavia.it>>, <mario.cajumi01 a universitadipavia.it<mailto:mario.cajumi01 a universitadipavia.it>>, <gabriele.castellari01 a universitadipavia.it<mailto:gabriele.castellari01 a universitadipavia.it>>, <lorenzo.fassina02 a universitadipavia.it<mailto:lorenzo.fassina02 a universitadipavia.it>>, <massimiliano.ghiotto01 a universitadipavia.it<mailto:massimiliano.ghiotto01 a universitadipavia.it>>, <chiara.perinati01 a universitadipavia.it<mailto:chiara.perinati01 a universitadipavia.it>>, <mariateresa.ruggiero01 a universitadipavia.it<mailto:mariateresa.ruggiero01 a universitadipavia.it>>, Paolo Malanchini <p.malanchini a campus.unimib.it<mailto:p.malanchini a campus.unimib.it>>, <c.nocita a campus.unimib.it<mailto:c.nocita a campus.unimib.it>>, <e.sforza a campus.unimib.it<mailto:e.sforza a campus.unimib.it>>, <k.haile a campus.unimib.it<mailto:k.haile a campus.unimib.it>>, Anna Donadini <a.donadini a campus.unimib.it<mailto:a.donadini a campus.unimib.it>>, <j.feuerpfeil a campus.unimib.it<mailto:j.feuerpfeil a campus.unimib.it>>


Cari/e tutti/e,

scrivo per sapere se vi siano interessati al corso “Elliptic PDEs and hypersurface geometry” che dovrebbe tenersi a partire da metà ottobre o giù di lì. La durata del corso è di 28h. Non ho gli indirizzi dei nuovi immatricolati: nel caso li conosciate vi sarei grato se poteste girar loro il messaggio.

Il corso è inteso come introduzione ad alcune tecniche dell’analisi geometrica in spazi lisci. Ho pensato ad un programma di massima (forse sovradeterminato). È riportato qui sotto.

Chi fosse interessato per favore me lo faccia sapere rispondendo a questo messaggio. Potremmo anche organizzare un incontro per discutere più in dettaglio il programma e i tempi.

Grazie.
A presto,

Stefano

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1. Introduction: the origin of a technique. From L.V. Ahlfors to S.T. Yau

2. Hypersurfaces in Euclidean space. Basic concepts and formulas.

3. Height estimates for compact H-graphs. A-priori estimates of the height of a Constant Mean Curvature (CMC) compact graph with planar boundary. The 2-d case is a celebrated result by J. Serrin in 1969. Following W. Meeks we shall give a proof in n-dimensions using the maximum principle for the Laplace-Beltrami operator.

4. Minimality of entire H-graphs and the Bernstein problem. Entire H-graphs are minimal, as one can see via “isoperimetric” considerations. This is a toy case of an open problem by M.P. do Carmo in the 80s. Entire minimal graphs are hyperplanes (Bernstein problem) in dimensions strictly less than 8. We shall discuss a 2-dimensional proof using the notion of “parabolicity” in potential theory.

5. The half-space property of entire minimal graphs. In any dimension, the only entire minimal graphs contained  in a vertical half-space are the hyperplanes. This is a celebrated result by E. Bombieri, E. De Giorgi and M. Miranda in 1969. We shall present the “elementary" proof by Nick Korevaar (1986) via gradient estimates.

If time permits:

6. Bounded minimal surfaces. A great impulse in minimal surface theory was given by the E. Calabi conjectures stating that some / all the coordinate functions of a complete minimal surface in Euclidean 3-space must be unbounded. In general the conjectures are false (L. Jorge and F. Xavier in 1980 and N. Nadirashvili in 1996). However, they are true under topological assumptions (as a consequence of the recent theory by T. Colding and W. Mincozzi) or volume/curvature restrictions. We shall discuss boundedness properties of (the “ends”  of) a minimal surface by means of extrinsic radius estimates for CMC surfaces. These are obtained using maximum principles at infinity and decay of positive bounded solutions of semilinear PDEs.




Università di Milano-Bicocca
Dipartimento di Matematica e Applicazioni
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