<div dir="ltr"><div><br><div><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">---------- Forwarded message ---------<br>Da: <strong class="gmail_sendername" dir="auto">Stefano Pigola</strong> <span dir="auto"><<a href="mailto:stefano.pigola@unimib.it">stefano.pigola@unimib.it</a>></span><br>Date: lun 2 set 2024 alle ore 07:40<br>Subject: corso di dottorato "Elliptic PDEs and hypersurface geometry"<br>To: <<a href="mailto:g.barbieri43@campus.unimib.it">g.barbieri43@campus.unimib.it</a>>, <<a href="mailto:m.fusari@campus.unimib.it">m.fusari@campus.unimib.it</a>>, Simone Gallivanone <<a href="mailto:s.gallivanone@campus.unimib.it">s.gallivanone@campus.unimib.it</a>>, <<a href="mailto:e.marmo@campus.unimib.it">e.marmo@campus.unimib.it</a>>, <<a href="mailto:f.mastrogiacomo2@campus.unimib.it">f.mastrogiacomo2@campus.unimib.it</a>>, Tommaso Toti <<a href="mailto:t.toti@campus.unimib.it">t.toti@campus.unimib.it</a>>, <<a href="mailto:giulia.cavalleri01@universitadipavia.it">giulia.cavalleri01@universitadipavia.it</a>>, <<a href="mailto:claudia.contardi01@universitadipavia.it">claudia.contardi01@universitadipavia.it</a>>, <<a href="mailto:paolo.grossi01@universitadipavia.it">paolo.grossi01@universitadipavia.it</a>>, <<a href="mailto:antonio.lacopo01@universitadipavia.it">antonio.lacopo01@universitadipavia.it</a>>, <<a href="mailto:edoardogiovann.tolotti01@universitadipavia.it">edoardogiovann.tolotti01@universitadipavia.it</a>>, <<a href="mailto:luca.vai01@universitadipavia.it">luca.vai01@universitadipavia.it</a>>, <<a href="mailto:mario.cajumi01@universitadipavia.it">mario.cajumi01@universitadipavia.it</a>>, <<a href="mailto:gabriele.castellari01@universitadipavia.it">gabriele.castellari01@universitadipavia.it</a>>, <<a href="mailto:lorenzo.fassina02@universitadipavia.it">lorenzo.fassina02@universitadipavia.it</a>>, <<a href="mailto:massimiliano.ghiotto01@universitadipavia.it">massimiliano.ghiotto01@universitadipavia.it</a>>, <<a href="mailto:chiara.perinati01@universitadipavia.it">chiara.perinati01@universitadipavia.it</a>>, <<a href="mailto:mariateresa.ruggiero01@universitadipavia.it">mariateresa.ruggiero01@universitadipavia.it</a>>, Paolo Malanchini <<a href="mailto:p.malanchini@campus.unimib.it">p.malanchini@campus.unimib.it</a>>, <<a href="mailto:c.nocita@campus.unimib.it">c.nocita@campus.unimib.it</a>>, <<a href="mailto:e.sforza@campus.unimib.it">e.sforza@campus.unimib.it</a>>, <<a href="mailto:k.haile@campus.unimib.it">k.haile@campus.unimib.it</a>>, Anna Donadini <<a href="mailto:a.donadini@campus.unimib.it">a.donadini@campus.unimib.it</a>>, <<a href="mailto:j.feuerpfeil@campus.unimib.it">j.feuerpfeil@campus.unimib.it</a>><br></div><br><br><div style="line-break:after-white-space"><div dir="auto" style="line-break:after-white-space"><div dir="auto" style="line-break:after-white-space"><div dir="auto" style="line-break:after-white-space"><div dir="auto" style="line-break:after-white-space"><div dir="auto" style="line-break:after-white-space"><div dir="auto"><div dir="ltr">Cari/e tutti/e,<div dir="auto" style="line-break:after-white-space"><div dir="auto" style="line-break:after-white-space"><div><br></div><div>scrivo per sapere se vi siano interessati al corso “Elliptic PDEs and hypersurface geometry” che dovrebbe tenersi a partire da metà ottobre o giù di lì. La durata del corso è di 28h. Non ho gli indirizzi dei nuovi immatricolati: nel caso li conosciate vi sarei grato se poteste girar loro il messaggio.</div><div><br></div><div>Il corso è inteso come introduzione ad alcune tecniche dell’analisi geometrica in spazi lisci. Ho pensato ad un programma di massima (forse sovradeterminato). È riportato qui sotto.</div><div><br></div><div><div>Chi fosse interessato per favore me lo faccia sapere rispondendo a questo messaggio. Potremmo anche organizzare un incontro per discutere più in dettaglio il programma e i tempi.</div><div><br></div><div>Grazie.</div><div>A presto,</div><div><br></div><div>Stefano</div></div><div><br></div><div>***</div><div><br></div><div>1. <i>Introduction: the origin of a technique</i>. From L.V. Ahlfors to S.T. Yau</div><div><br></div><div>2. <i>Hypersurfaces in Euclidean space. </i>Basic concepts and formulas.</div><div><br></div><div>3. <i>Height estimates for compact H-graphs</i>. A-priori estimates of the height of a Constant Mean Curvature (CMC) compact graph with planar boundary. The 2-d case is a celebrated result by J. Serrin in 1969. Following W. Meeks we shall give a proof in n-dimensions using the maximum principle for the Laplace-Beltrami operator.</div><div><br></div><div>4. <i>Minimality of entire H-graphs and the Bernstein problem</i>. Entire H-graphs are minimal, as one can see via “isoperimetric” considerations. This is a toy case of an open problem by M.P. do Carmo in the 80s. Entire minimal graphs are hyperplanes (Bernstein problem) in dimensions strictly less than 8. We shall discuss a 2-dimensional proof using the notion of “parabolicity” in potential theory.</div><div><br></div><div>5. <i>The half-space property of entire minimal graphs</i>. In any dimension, the only entire minimal graphs contained in a vertical half-space are the hyperplanes. This is a celebrated result by E. Bombieri, E. De Giorgi and M. Miranda in 1969. We shall present the “elementary" proof by Nick Korevaar (1986) via gradient estimates. </div><div><br></div><div>If time permits:</div><div><br></div><div>6. <i>Bounded minimal surfaces. </i>A great impulse in minimal surface theory was given by the E. Calabi conjectures stating that some / all the coordinate functions of a complete minimal surface in Euclidean 3-space must be unbounded. In general the conjectures are false (L. Jorge and F. Xavier in 1980 and N. Nadirashvili in 1996). However, they are true under topological assumptions (as a consequence of the recent theory by T. Colding and W. Mincozzi) or volume/curvature restrictions. We shall discuss boundedness properties of (the “ends” of) a minimal surface by means of extrinsic radius estimates for CMC surfaces. These are obtained using maximum principles at infinity and decay of positive bounded solutions of semilinear PDEs.</div><div><br></div><div><br></div><div><br><div>
<div><br>Università di Milano-Bicocca<br>Dipartimento di Matematica e Applicazioni<br>via Roberto Cozzi, 55<br>20125 Milano</div>
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